Likformighet
Vi kallar två trianglar för likformiga om de bara skiljer sig i storlek, rotation och möjligen en spegling. Om man alltså kan göra om den ena triangeln till den andra om man bara får spegla i någon linje, rotera kring någon punkt och skala om storleken enhetligt, då är trianglarna likformiga.
Det är bra att ha den intuitionen i bakhuvudet när vi går igenom hur man räknar med likformiga trianglar och när vi lär oss hur man ser om två trianglar är likformiga eller inte.
Hur man identifierar likformiga trianglar
För att se om två trianglar är likformiga eller inte behöver vi veta något om vinklarna och sidornas längder.
Om två av vinklarna i den ena triangeln är lika med två av vinklarna i den andra triangeln, då är trianglarna likformiga. Detta kallas för vinkel-vinkel-regeln.
Den andra regeln kallas sida-vinkel-sida-regeln och säger följande.
Om proportionen mellan en sida i den ena triangeln till en sida i den andra triangeln är samma som proportionen mellan en annan sida i den första triangeln till en annan sida i den andra triangeln, och om dessutom vinklarna mellan de två sidorna i båda trianglar är identiska, då är trianglarna likformiga.
Den sista regeln kallas för sida-sida-sida-regeln. Om proportionen mellan en sida i den första triangeln och en sida i den andra triangeln är samma som proportionen mellan en annan sida i den första och en annan sida i den andra OCH samma som proportionen mellan de sista sidorna i båda trianglar, då är trianglarna likformiga.
Kongruens
Om två trianglar är likformiga och dessutom lika stora - det vill säga, om de är likformiga men man inte måste skala om den ena för att få den andra utan bara rotera och spegla - då säger vi att trianglarna är kongruenta.
Kongruens är ett starkare krav på två trianglar än likformighet: Om man vet att två trianglar är kongruenta, då vet man automatiskt att de är likformiga. Däremot finns det likformiga trianglar som inte är kongruenta.
Varför är likformighet och kongruens användbart?
Likformighet och kongruens är användbart eftersom det låter oss dra slutsatser om en triangel med hjälp av vad vi vet om en annan triangel. Om två trianglar är likformiga, då har de samma vinklar och proportionen mellan motsvarande sidor är samma för alla par av sidor. Om trianglarna dessutom är kongruenta, då är den proportionen $1$.
Exempel 1 (1530): Är trianglarna likformiga?
Den vänstra triangeln har en vinkel som är $25^\circ$, en som är $65^\circ$ och en rät vinkel som är $90^\circ$.
Den högra triangeln har också en vinkel som är $25^\circ$, en som är $65^\circ$ och en rät vinkel som är $90^\circ$.
Enligt vinkel-vinkel-satsen är därför de två trianglarna likformiga: Vi kan rotera, spegla och skala om den ena för att få den andra.
Exempel 2 (225): I figuren nedan visas en triangel samt en parallelltransversal. Bestäm sidan $x$.
Vi inför några beteckningar så att det blir lättare att förstå.
Kalla det översta hörnet för $A$, det nedersta vänstra hörnet för $B$ och det nedersta högra hörnet för $C$.
Kalla punkten där sidan med längd $x$ skär den vänstra sidan för $D$ och kalla punkten där den skär den högra sidan för $E$.
Då kan vi se två stycken trianglar: $ABC$ och $ADE$. Notera att vinkeln $\angle CAB$ är samma som $\angle EAD$.
Vidare är vinklarna $\angle ABC$ och $\angle ADE$ lika stora, och $\angle BCA$ är lika stor som $\angle DEA$. Från vinkel-vinkel satsen följer det nu att trianglarn $ABC$ och $ADE$ är likformiga.
Eftersom trianglarna är likformiga följer det att sidan $DE$ med längd $x$ har samma proportion till sidan $BC$ som har längd 8, som proportionen mellan sidan $AD$ i den första triangeln och $AB$ i den andra triangeln. $AD$ har längd $4$ och $AB$ har längd $4 + 2 = 6$, så proportionen är $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Eftersom proportionen är samma för båda par av sidor så måste
\begin{equation} \frac{x}{8} = \frac{2}{3} \implies x = \frac{16}{3}. \end{equation}
Alltså är $x = \frac{16}{3}$.