Definitionsmängd och värdemängd
Längst ned går vi igenom en exempeluppgift tillsammans. Vi behandlar bara definitionsmängd för matematik 3 och gymnasiet. För envariabelanalys krävs ytterligare djupdykning.
Definitionsmängd för $f(x)=$ Tillåtna $x$
Värdemängd = de värden på y som funktionen $f(x)$ tillåter
Definitionsmängd
En funktions definitionsmängd är de värden på x för vilka funktionen $y=f(x)$ är ett reellt tal, om inget annat anges. En definitionsmängd kan vara ett tal eller ett eller flera intervall. I väldigt enkla ord så är definitionsmängd de värden på variabeln som gör att vår funktion kan bli ett tal.
Betäckningen för definitionsmängd för funktionen $f$ skrivs som $D_f$.
En definitionsmängd ges ofta som ett intervall, t.ex. "alla x mellan 1 och 3 ". Ett vanligt exempel där vi använder definitionsmängd är att en sidlängd inte kan vara kortare än 0. Det här innebär att du borde ha för vana att ställa upp definitionsmängden i alla fall du kan, det kan ju hända att du kommer fram till ett svar senare i uträkningen som visar sig vara ogiltigt!
Definitionsmängd för funktionen $f$ skrivs som $D_f$
På engelska heter definitionsmängd domain.
Bestäm definitionsmängden för $f(x)=\frac{1}{x+2} $
Här har vi ett bråk, dessa är alltid odefinierade när nämnaren är lika med noll.
I vårt fall sker detta när
$x+2=0$
$x=-2$
Funktionen $f(x)$ är alltså definierad för alla $x \neq -2$
Bestäm definitionsmängden för $f(x)=\sqrt{3+x}$
Nu har vi roten-ur. Vi vet att det inte får vara ett negativt tal under rottecknet. Det kan vi formulera som en olikhet.
$x \geq -3$
Eftersom att alla $x$ mindre än -3 kommer att ge ett negativt värde och exakt -3 kommer att ge noll under rottecknet.
Definitionsmängden för funktionen $f(x)$ är alltså alla tal störra eller lika med -3
$D_f: x \geq -3$
Den här strategin bör du ha för att räkna ut definitionsmängd
Det är ganska enkelt att räkna ut en definitionsmängd i de flesta fall. De två absolut vanligaste fallen är att bråktal är odefinierade när nämnaren är noll och roten ur är odefinierat vid negativa tal. Vi vet ju inte på förhand vilka värden som är tillåtna, det beror på funktionen.
Det finns även andra fall, du behöver alltid betrakta den matematiska funktionen i varje enskilt fall. Frågan du alltid bör ställa dig är "vilka x är tillåtna i funktionen?"
Värdemängd
På engelska heter värdemängd range.
En värdemängd är de funktionsvärden för $y=f(x)$ som ligger inom definitionsmängden. Man skulle, lite förenklat kunna säga att skillnaden på definitions- och värdemängd är att om definitionsmängd ger tillåtna x så ger värdemängd tillåtna y.
Det finns lite olika sätt att beräkna värdemängden, det vanligaste och mest givande är att reflektera över vad som faktiskt händer med funktionen och vilka egenskaper den har.
Om du vill kan du rita upp en graf för att skaffa en bra uppfattning eller beräkna funktionens gränsvärden.
Värdemängden skrivs med $V_f$, vi kan gå igenom ett exempel för värdemängd här nedanför.
Bestäm värdemängden för funktionen $f(x)=x^2 $
Allmänt gäller att värdemängden för andragradsekvationer beräknas på samma sätt.
Vi ska ju avgöra vilka funktionsvärden, y-värden som funktionen kan anta.
$f(x)$ tillåter ju att vi stoppar in alla värden på x, men kommer vi att få ut alla olika värden på y? Vi kommer aldrig att kunna få ut ett negativt tal ur $x^2$.
Värdemängden kan alltså aldrig anta ett negativt värde!
Nu kan värdemängden beräknas med olikheten
$x^2 \geq 0$
Det innebär att värdemängden för $f(x)$ är alla tal större eller lika med noll.
Prova själv, stoppa in vilket tal du vill och se om du kan något mindre än noll...;-)