Variabelsubstitution - Ett verktyg för komplicerade ekvationer
Längst ned löser vi en exempeluppgift med hjälp av variabelsubstitution.
Att substituera betyder ju ersätta eller byta ut - Vilket är precis vad vi gör, fast på matematisk väg. Det innebär att vi kommer att byta ut en term mot en annan i syfte att få en enklare ekvation eller ett problem som ger oss mer förståelse. Det är en lite halvkomplicerad process i vissa fall men väldigt, väldigt användbar. Ofta så är uppgifter som kräver en substitutionslösning initialt svåra, det gäller att träna på många olika typer av uppgifter för att inse när och vad man faktiskt behöver substituera för term.
Variabelsubstitution är ett av de mest kraftfulla verktygen vi kommer att lära oss.
- Processen för att substituera ser ut så här
- 1. Läs uppgiften, vad gör den svår? Hur kan du göra den enklare?
- 2. Välj en term att substituera.
- 3. Byt ut denna term mot en variabel, vanligtvis t eller u
- 4. Lös ekvationen med avseende på den nya variabeln
- 5. Substituera tillbaka!
Notera att den här artikeln inte täcker variabelbyten för integraler, dessa återkommer i universitetskursen envariabelanalys. Vi kan kika på ett exempel.
Säg att vi ska beräkna $x^4-4x^2-45=0$
Ganska jobbigt ekvation som vi förmodligen inte har en aning om hur vi ska lösa...
Vi substituerar $t=x^2$.
Det gör att vi nu kan ersätta vissa termer i vår ekvation.
Vi får $t^2-4t-45=0$
Helt plötsligt har vi ju fått en andragradsekvation, vilket vi kan lösa!
Löser vi denna med PQ formeln så erhåller vi rötterna $t=-5$ och $t=9$
Nu måste
vi substituera tillbaka, vi behöver ju svaren på x. $t=x^2 \Rightarrow \sqrt{t}=x $ och t kan alltså
inte vara ett negativt tal. Detta innebär att $t=9$
$x=\sqrt{t} =\sqrt{9}= \pm 3$
Lös ekvationen $x^4+2x^2-24=0$
Vi inser att vi inte kan lösa fjärdegradsekvationer,
$\Rightarrow$ substituera
Vi sätter $x^2=t$ och kan skriva om ekvationen till
$t^2+2t-24=0$
Lös denna med hjälp av PQ-formeln
$t=-1 \pm \sqrt{ 1^2+24}$
$t=-1 \pm 5$
$t_1=-6$ och $t_2=4$
Substituera tillbaka, $t=x^2 \Rightarrow
x=\sqrt{t}$
Vi kan alltså inte erhålla några reella lösningar ur
negativa värden på t, förkasta denna!
Kvar återstår $t=4$
$t=4=x^2
\Rightarrow x=\sqrt{4}=\pm 2$
Svar: $x= \pm 2$