Räta linjens ekvation för matematik 2 - linjära funktioner
Den räta linjens ekvation är en linjär ekvation, det vill säga att x-termen har exponent ett och skrivs på formen
Där x och y är variablerna (de som kan ändras), k och m är konstanter som representerar lutningen och skärningspunkt med y-axeln.
En rät linje är detsamma som att den inte är kurvig, den böjer inte på sig någonstans utan kommer alltid att se likadan ut, till skillnad från till exempel andragradskurvor.
Detta är alltså en förstagrads funktion. För en linjär funktion innebär att alla punkter som tillhör funktionen bildar en rät linje.
I ett koordinatsystem så går man alltid från vänster till höger när man kikar på räta linjer och ska bedöma dess lutning
Snabb genomgång
Lutning k, $k = \frac{förändring \ i \ y-led}{förändring \ i \ x-led}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. Lutningen hos en linje är “antal steg i y-led för varje steg i x-led”. Om linjen lutar uppåt så ökar värdet, om linjen lutar nedåt så sjunker värdet när x ökar.
M-värdet, är det y-värde för vilken funktionen skär y-axeln, dvs när $x=0$
k-värdet och m-värdet
k-värdet
k-värdet är linjens riktningskoefficient, dvs den term som avgör i vilken lutning linjen pekar
Lutningen är alltid densamma för alla punkter på en rät linje.
Om lutningen är positiv så kan vi alltså med säkerhet säga att för varje steg vi går åt höger (x-led) så kommer funktionens värde att öka (y-led).
Att räkna ut lutningen för en linje görs genom
Man börjar alltid till vänster i grafen och går åt höger, dvs att den punkt innehållande lägst x-värde blir vår första punkt.
Bestäm lutningen k för den räta linjen genom de två punkterna $(2,1)$ och $(4,2)$.
Vi kan se att x=2 ligger längst till vänster och är vår första punkt,
$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2-1}{4-2}=\frac{1}{2}=0.5$
Om $k>0$ är lutningen positiv och grafen lutar snett uppåt $\nearrow$
Om $k = 0$ saknar grafen lutning, den är helt horisontell och parallell med x-axeln $\rightarrow$
Om $k < 0$ är lutningen negativ, den pekar alltså snett nedåt. $\searrow$
Kort och gott innebär en negativ lutning att om vi tar ytterligare ett steg åt höger så kommer vi att befinna oss under den tidigare punkten.
m-värdet
m-värdet för räta linjens ekvation är den term som inte har en variabel som koefficient. Detta är den punkt där linjen skär y-axeln, dvs x=0, detta kan vi inse genom att:
På y-axeln är $x=0$.
Om vi sätter in $x=0$ i$ y=kx+m$, dvs $y(0)=k \cdot 0 +m \Rightarrow y=m$
Punkten kan skrivas som $(0, m)$.
Parallella linjer
Två linjer är parallella med varandra om de har samma lutningen men olika skärningspunkter med y-axeln. Att två linjer är parallella innebär att avståndet mellan båda linjerna är konstant.
Alltså - Parallella om : samma lutning (k) men olika m-värden.
Är linjerna parallella?
$y=2x-1$ och $y=x+1$
Vi ser att k-värdena skiljer, $k_1=2$ och $k_2=1$
Ett krav för att linjerna ska vara parallella är att de har samma k-värde, vilket inte är fallet.
Linjerna är således inte parallella
Parallella linjer förekommer oftast först i matte 1b men behandlas mest i matte 2b. Dessa är vanliga på högskoleprovet och betraktas inom området geometri.
Vinkelräta linjer
Två linjer är vinkelräta om det är 90 grader mellan dem. Detta innebär att ett krav för lutningen mellan två vinkelräta linjer är
Produkten mellan de två linjernas lutningar skall alltså vara -1.
Vinkelräta linjer är ovanligt i matematik 1 men även på högskoleprovet.
En strategi för att hitta räta linjens ekvation
Den här strategin fungerar alltid för att hitta den räta linjen på formen y=kx+m.
För att bestämma räta linjens ekvation behöver man minst två punkter, annars går det inte.
Det funkar ju även om du har en punkt och kanske lutningen eller m-värdet.
Säg att vi har punkterna (2,4) och (6,8).
Börja med att hitta lutningen, k-värdet. För att göra det ställer vi upp och använder definitionen givet våra två punkter.
Nu när vi har k, så är ekvationen $y=x+m$, men vi behöver fortfarande m-värdet.
Det vi gör för att hitta m-värdet är att sätta in någon punkt som vi vet finns på linjen, i vår ekvation. Båda två fungerar ju eftersom att båda ligger på linjen, de kommer alltså att resultera i samma k eller m-värde.
Vi stoppar in (2,4) i $y=x+m$
$4 = 2 + m$
$4-2=m$
$m=2$
Dvs att den räta linjen kan skrivas som
$y=x+2$
Skärningspunkten mellan två linjer
Två räta linjer som inte är parallella eller ligger “i varandra” kommer alltid att ha en skärningspunkt, och aldrig fler än en.
För att linjerna ska skära varandra gäller ju att de har exakt samma koordinater $(x_0, y_0)$.De två räta linjerna har alltså samma x- och y-värde i en skärningspunkt.
Eftersom det är extremt viktigt gör jag ett förtydligande - om linjerna skär varandra i punkten (2,4) så måste denna punkt finnas på båda linjer.
Enpunktsformeln
Enpunktsformeln ser ut så här
Enpunktsformeln är mycket användbar för att ta fram räta linjens ekvation förutsatt att du vet lutningen k och en punkt på linjen.