Gränsvärden
När vi lärde oss om rationella funktioner lärde vi oss också om begreppet definitionsmängd. Vi repeterar lite snabbt: Varje funktion har en definitionsmängd, och det är helt enkelt mängden av punkter där funktionen är definierad. Enkelt kan man tänka sig att definitionsmängden är mängden av alla tal man får stoppa in i funktionen utan att göra något otillåtet, som att dividera med noll eller ta kvadratroten ur ett negativt tal. Betrakta till exempel funktionen $f(x) = 2x$. Oavsett vilket reellt tal (positivt, negativt eller noll) man stoppar in får man ut ett tillåtet tal. Alltså har $f$ mängden av alla reella tal (som ofta skrivs $\mathbb{R}$) som definitionsmängd. Funktionen $g(x) = \frac{1}{x}$ däremot ger bara tillåtna funktionsvärden om man stoppar in tal som är positiva eller negativa. Det är otillåtet att stoppa in $x = 0$ i $g$, eftersom vi då får $\frac{1}{0}$, som inte är definierat. Vi säger att $g$ har en definitionsmängd som består av alla reella tal som är positiva eller negativa.
Ibland kan det vara så att en funktion är odefinierad i en punkt (som $g(x)$ ovan, som inte är definierad i $x = 0$), men som ändå beter sig på ett visst sätt om man stoppar in värden på $x$ som ligger allt närmare punkten. Det kan antingen vara så att funktionens värde närmar sig ett visst tal, eller att det blir allt större, eller allt mindre. Betrakta till exempel $f(x) = \frac{1}{x^2}$. Vi ser igen att $f$ inte är definierad när $x = 0$. Om man däremot stoppar in värden på $x$ som ligger närmare och närmare $x = 0$ (till exempel $x = 0.1$, $x = 0.01$, $x = 0.001$ och så vidare), så kommer $f(x)$ att bli större och större, oavsett om vi stoppar in positiva eller negativa värden på $x$ på det här sättet. Vi säger att funktionsvärdet går mot oändligheten då $x$ går mot 0. Vi kan också säga att $f$ har oändligheten som gränsvärde då $x$ går mot $0$. Vi skriver detta som att \begin{equation} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} = \infty. \end{equation} Här står lim för "limes" eller "limit" som betyder just "gräns" på latin respektive engelska. Detta är anledningen till att man också kan säga "limes av $f$ då $x$ går mot$\ldots$" istället för "gränsvärdet av $f$ då $x$ går mot$\ldots$". Pilen under visar vilket värde $x$ närmar sig. Mer generellt kan vi för någon funktion $f(x)$ skriva \begin{equation} \lim_{x \rightarrow a} f(x) = b \end{equation} om funktionsvärdet hos $f$ närmar sig $b$ allt mer om man stoppar in reella tal $x$ som kommer allt närmare $a$. Här kan både $a$ och $b$ vara reella tal, $\infty$ eller $-\infty$. Tänk dock på att man bara får stoppa in reella tal för $x$ i funktionen (alltså aldrig $\infty$ eller $-\infty$) och att alla tal man stoppar in måste ligga i funktionens definitionsmängd.
Det här är en ganska speciell egenskap, och den gäller inte för alla funktioner som är odefinierade i någon punkt. Betrakta till exempel $f(x) = \frac{1}{x}$ som i första stycket: Om man stoppar in tal som är positiva och närmar sig noll, då blir funktionsvärdet allt större. Gör man däremot samma sak men med negativa tal, då blir funktionsvärdet allt mindre. Det närmar sig alltså inte en och samma sak. Trots att $f$ är odefinierad i $x = 0$ har $f(x) = \frac{1}{x}$ alltså inget gränsvärde då $x$ går mot noll.
Exempel 1: Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\rightarrow 2}x^3+3x-\frac{1}{x}$
Den här uppgiften är mycket lättare än den ser ut. I tidigare exempel har vi ofta haft en funktion som är odefinierad i någon punkt, men det är inte fallet här. Om vi stoppar in $x = 2$ gör vi inget odefinierat: Vi dividerar inte med noll, vi drar inte kvadratroten ur ett negativt tal eller något sånt. Alltså får vi gränsvärdet enkelt genom att stoppa in $x = 2$ och förenkla. Vi får att gränsvärdet är $2^3 + 3\cdot 2 - \frac{1}{2} = 8 + 6 - 0.5 = \frac{27}{2}$. Svaret är alltså att \begin{equation} \lim_{x\rightarrow 2}x^3+3x-\frac{1}{x} = \frac{27}{2}. \end{equation}
Exempel 2: Bestäm $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2 + 100}{2x^2}$.
Vi kan förkorta bråket vi ska hitta gränsvärdet av med $x^2$ utan att ändra på värdet. Vi ser att \begin{equation} \frac{x^2 + 100}{2x^2} = \frac{1 + \frac{100}{x^2}}{2}. \end{equation} Nu kan vi se att den enda delen i uttrycket som beror på $x$ är $\frac{100}{x^2}$, resten är konstant. 100 är visserligen ett stort tal, men $x$ blir obegränsat stor: $\frac{100}{(10)^2} = 1$, $\frac{100}{(100)^2} = 0.01$, $\frac{100}{(1000)^2} = 0.0001$ och så vidare, och vi ser att $\frac{100}{x^2}$ går mot noll, då $x$ går mot $\infty$. Kvar blir alltså bara de konstanta termerna, och vi ser att \begin{equation} \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2 + 100}{2x^2} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{100}{x^2}}{2} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}. \end{equation} Alltså är limes då $x$ går mot oändligheten av $\frac{x^2 + 100}{2x^2}$ lika med $\frac{1}{2}$.
Exempel 3: Beräkna gränsvärdet $\lim_{x \to 5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}$
Här ska vi se ett vanligt trick som används när vi har kvadratrötter i uttrycket. Vi förlänger bråket med $\sqrt{x+4}+3$, vilket naturligtvis inte ändrar dess värde. Då får vi att \begin{equation} \frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} = \frac{(\sqrt{x+4}-3)(\sqrt{x + 4} + 3)}{(x-5)(\sqrt{x + 4} + 3)} = \frac{x + 4 - 3^2}{(x-5)(\sqrt{x + 4} + 3)}. \end{equation} Vi förenklar vidare och ser att \begin{equation} \frac{x + 4 - 3^2}{(x-5)(\sqrt{x + 4} + 3)} = \frac{x + 4 - 9}{(x-5)(\sqrt{x + 4} + 3)} = \frac{x - 5}{(x-5)(\sqrt{x + 4} + 3)}. \end{equation} Nu kan vi förkorta bråket med $x - 5$ för att bli av med faktorn i nämnaren som gjorde bråket odefinierat i $x = 5$. Då får vi att \begin{equation} \frac{x - 5}{(x-5)(\sqrt{x + 4} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 3}, \end{equation} och vi ser sammanfattningsvis att \begin{equation} \frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 3}. \end{equation} Alltså är \begin{align} \lim_{x \to 5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} &= \lim_{x \to 5}\frac{1}{\sqrt{x + 4} + 3} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5 + 4} + 3} \\ &= \frac{1}{\sqrt{9} + 3} \\ &= \frac{1}{3 + 3} \\ &= \frac{1}{6}. \end{align}