Integraler
Primitiva funktioner
Vi har lärt oss hur man från en funktion $f$ kan hitta derivatan av $f$, som vi kallar för $f^\prime$. Kom ihåg att derivatan också är en funktion. Ofta vill vi istället gå åt andra hållet: Vi får en funktion $f^\prime$, och vill hitta en funktion $f$ som är sådan att man kan derivera den och få $f$. Den ursprungliga funktionen kallar vi då för en primitiv funktion.
Ofta betecknar vi en primitiv funktion med samma bokstav, fast stor. En primitiv funktion till $f$ kallas alltså vanligtvis $F$, och så vidare. Om alltså $F$ är en primitiv funktion till $f$, då är $F^\prime = f$, det vill säga derivatan av $F$ är $f$.
Exempel 1: Hitta en primitiv funktion till $f(x) = 2x + 5$
Vi letar efter en funktion $F(x)$ sådan att om man deriverar den så får man $2x + 5$. Derivatan av $x^2$ är $2x$ och derivatan av $5x$ är $5$, så derivatan av $x^2 + 5x$ måste enligt deriveringsreglerna vara $2x + 5$. Alltså har $f$ en primitiv funktion $F(x) = x^2 + 5x$.Men vad är derivatan av till exempel $x^2 + 5x + 1$? Jo, den är också $2x + 5$. På samma sätt är derivatan av $x^2 + 5x + 100$ eller derivatan av $x^2 + 5x -3.5$ också $2x + 5$. Det gäller i allmänhet att vi kan få en ny primitiv funktion genom att addera eller subtrahera en godtyckligt konstant.
Vanliga primitiva funktioner
| En primitiv funktion till... | är... |
|---|---|
| $x^n$, där $n \neq -1$ | $\frac{1}{n+1}x^{n+1}$ |
| $e^{kx}$, där $k \neq 0$ | $\frac{1}{k}e^{kx}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln(x)$ |
Notera likheterna med deriveringsreglerna. Om man deriverar funktionen till höger får man funktionen till vänster.
Integraler
Det vanligaste användningsområdet för primitiva funktioner är integraler. Integralen av en funktion $f(x)$ mellan $x = a$ och $x = b$ för några tal $a$ och $b$ är arean mellan $x$-axeln och grafen till $f(x)$ mellan punkterna $x = a$ och $x = b$. För att skriva integralen använder vi integraltecknet $\int$. Talen $a$ och $b$ kallas för undre respektive övre integrationsgränser och skrivs nere respektive uppe på integraltecknet. Funktionen vi tar integralen av skrivs efter integraltecknet $\int$, och efter det skriver vi $dx$. Integralen av $f(x)$ mellan $a$ och $b$ skulle vi alltså skriva som \begin{equation*} \int_a^b f(x) dx. \end{equation*}
Det finns en lätt formel för integralen som använder primitiva funktioner, nämligen \begin{equation*} \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), \end{equation*} där precis som ovan $F$ är en primitiv funktion till $f$. Det spelar ingen roll vilken av de primitiva funktionerna till $f$ vi använder.
Exempel 2: Hitta arean som begränsas av $y$-axeln, $x$-axeln och grafen till funktionen $f(x) = -2x + 2$.
$y$-axeln ges av $x = 0$, så det är vår nedre integrationsgräns. Vi ser från grafen (eller genom att sätta $-2x + 2$ lika med noll) att grafen skär $x$-axeln då $x = 1$, så det är vår övre integrationsgräns. Funktionen vi ska integrera är $f(x) = -2x + 2$, så vi vill beräkna \begin{equation*} \int_0^1 (-2x + 2)dx. \end{equation*}
För att beräkna integralen behöver vi en primitiv funktion till $f(x)$. Enligt reglerna för primitiva funktioner så är $-x^2$ en primitiv funktion till $-2x$, eftersom derivatan av $-x^2$ är $-2x$. Vi har också att $2x$ är en primitiv funktion till $2$, så en primitiv funktion till $f(x)$ är $F(x) = -x^2 + 2x$. Då kan vi beräkna integralen som \begin{equation*} \int_0^1 f(x)dx = F(1) - F(0) = (-1^2 + 2\cdot 1) - (-0^2 + 2\cdot 0) = 1 - 0 = 1. \end{equation*} Alltså är arean i fråga $1$.
Eftersom arean i det här fallet är en triangel med en bas av längd $1$ och en höjd av längd $2$, så kan vi här också beräkna arean som $\frac{b\cdot h}{2} = \frac{1\cdot 2}{2} = 1$, som ger samma svar. Metoden med integraler fungerar dock även om arean inte är en triangel
Ibland vill vi istället beräkna arean mellan två grafer, till exempel till funktionerna $f(x)$ och $g(x)$, mellan två punkter $x = a$ och $x = b$. Den arean ges av integralen till funktionen $f(x) - g(x)$ mellan $a$ och $b$.