Skalor
Skalor kallas ibland också för proportioner och dyker upp hela tiden inom matematiken. Vi vill ofta räkna ut saker och rita bilder av saker i storlekar som är behändiga att ha till exempel i en bok eller ett block. Ofta är dock dessa saker mycket större eller mycket mindre: tänk till exempel att du ska rita en figur av en fotbollsplan på en sida i ditt block.
Om man vill räkna på till exempel sidlängden, då är det lämpligt att rita figuren så att vinklarna i hörnen är lika stora som i verkligheten och så att den långa sidan är lika mycket längre än den korta som den är i verkligheten.
Det finns flera sätt att skriva ut skalor på. Det vanliga är att skriva $a:b$ (som utläses $a$ till $b$). Det betyder att $a$ längdenheter i figuren motsvarar $b$ längdenheter i verkligheten.
Detta är egentligen ett bråk i förklädnad, så vi skriver ibland också att proportionen är $\frac{a}{b}$: Det betyder att varje sida i figuren är $\frac{a}{b}$ så lång som i verkligheten. Notera att $\frac{a}{b}$ kan vara både mindre än $1$ (om figuren är mindre än verkligheten, till exempel om det är en skalenlig bild på en fotbollsplan) eller större än $1$ (om figuren är större än verkligheten, till exempel om vi har en skalenlig bild på en bakterie i ett mikroskop).
Ett vanligt exempel där skalor förekommer är kartor. Där kan det till exempel stå i ena hörnet skalan $1:5000000$. Det betyder att varje centimeter på kartan motsvarar $5000000$ centimeter i verkligheten, vilket är lika långt som $50000$ meter eller $50$ kilometer. Då får man till exempel plats med en karta över hela Sverige på en $A4$-sida.
Varför är skalor användbara?
När vi har introducerat konceptet skalor kan vi skippa kravet att det måste vara en avbildning av något som har en riktig storlek: Vi kan lika gärna prata om en skala eller en proportion mellan två olika figurer, till exempel mellan två trianglar. Skalor och proportioner blir framför allt viktiga inom geometrin, och konceptet är en förutsättning för bland annat likformighet och kongruens.
Längdskalor, areaskalor, volymskalor
$areaskala = (längdskala)^2$
$volymskala = (längdskala)^3$
Betrakta en längdskala $\frac{a}{b}$ skriven på proportionsform. Proportionen mellan areorna är kvadraten av längdproportionen, och proportionen mellan volymer är kuben av längdproportionen.
Areaproportionen är alltså $\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$ och volymproportionen är $\left(\frac{a}{b}\right)^3 = \frac{a^3}{b^3}$.
Ett exempel som är bra att komma ihåg är en kub med sidlängd $1$ cm. En av kubens sidor har area $1$ cm$^2$ och kuben har volym $1$ cm$^3$.
Om man ändrar kuben sidlängd till $2$ cm (det vill säga med proportion $2:1$), då har kuben sidarea $4$ cm$^2 = (2^2)$ cm$^2$ och kuben har volym $8$ cm$^3 = (2^3)$ cm$^3$.
Exempel 1: En pelikan har ett vingspann på $280$ centimeter i verkligheten. I en biologibok är en bild på en pelikan i skala $1:14$. Hur stort är vingspannet på bilden på pelikanen?
Proportionen är $1:14$, vilket innebär att $1$ cm på bilden motsvarar $14$ cm, $2$ cm på bilden motsvarar $28$ cm och generellt $x$ cm på bilden motsvarar $14x$ cm i verkligheten. I verkligheten är vingspannet $280$ cm, så om vingspannet på bilden är $x$ cm, då måste $14x = 280$. Delar vi med $14$ på båda sidor finner vi att $x = \frac{280}{14} = 20$. På bilden är alltså pelikanens vingspann $20$ cm.
Exempel 2 (225): Man sänker ned en modell av ett flygplan i vatten för att bestämma dess volym. Volymen av modellen bestäms till $175 \mathrm{~cm}^{3}$. Hur stor volym har flygplanet i verkligheten om modellen är byggd i längdskala 1:50? Svara i $\mathrm{m}^{3}$.
Vi vet att längdskalan är $1:50$. Volymskalan är kuben av längdskalan, så volymskalan är $1^3 : 50^3 = 1:125000$. Det betyder att $1$ cm$^3$ på modellen motsvarar $125000$ cm$^3$ i verkligheten. Då måste $175$ cm$^3$ på modellen motsvara $175\cdot125000$ cm$^3 = 21875000$ cm$^3$.
Från grundskolan minns vi att $100$ cm är $1$ m, så att $100^3 = 1000000$ cm$^3$ är $1$ m$^3$. Till sist kan vi alltså räkna om flygplanets faktiska volym från kubikcentimeter till kubikmeter: \begin{equation} 21875000 \textrm{cm}^3 = \frac{21875000}{1000000} \textrm{m}^3 = 21.875 \textrm{m}^3. \end{equation}
Exempel 3 (256): En simhall vars största bassäng upptar en yta på 360 m$^2$ bygger ut. När man byggt ut finns det plats för att anlägga en ny bassäng, i samma proportioner som den gamla, på 490 m$^2$. Hur mycket vatten rymmer den nya bassängen om den gamla rymde 500 m$^3$?
$360$ m$^2$ i den ena bassängen motsvarar $490$ m$^2$ i den andra, så areaskalan är $360:490 = 36:49$. Areaskalan är kvadraten av längdskalan, så längdskalan är $\sqrt{36}:\sqrt{49} = 6:7$. Volymskalan är kuben av längdskalan, så volymskalan är $6^3:7^3 = 216:343$. Vi ser att $216$ volymenheter i den första bassängen motsvarar $343$ volymenheter i den andra. Den första bassängen innehåller $500$ m$^3$, så den andra bassängen innehåller \begin{equation} 500 \cdot \frac{343}{216} \textrm{m}^3 \approx 793.98 \textrm{m}^3 \approx 800\textrm{m}^3. \end{equation}
Svaret är alltså att den andra bassängen rymmer ungefär $800$ m$^3$ vatten.