Absolutbelopp

En funktion som förekommer ganska ofta och som är bra att ha koll på är absolutbeloppsfunktionen. Absolutbeloppet av ett tal $x$ skrivs som $|x|$ och är avståndet mellan origo och $x$. Eftersom avstånd alltid är positiva (eller noll), så är absolutbeloppet också alltid positivt. Om $x$ är positivt eller noll, då är $|x|$ precis samma sak som $x$. Om däremot $x$ är negativt, då är $|x| = -x$. Till exempel ligger talet $-2$ på avstånd $2$ från origo, och vi ser att $|-2| = -(-2) = 2$. Ofta sammanfattas definitionen av absolutbeloppet som \begin{equation} |x| = \begin{cases} x & \textrm{om } x \geq 0, \\ -x & \textrm{om } x < 0. \end{cases} \end{equation}

I figuren ovan ser vi grafen till funktionen $f(x) = |x|$. Vi ser att den till höger om origo ser ut precis som $f(x) = x$ och till vänster om origo som $f(x) = -x$: Det stämmer bra överens med vad vi förväntar oss från definitionen. Vi kan också se att kurvan i origo "sitter ihop", det vill säga är kontinuerlig, trots att den byter riktning väldigt skarpt. Faktum är att absolutbeloppsfunktionen inte är deriverbar i $x = 0$, och den nämns ofta som ett exempel på en funktion som är kontinuerlig men inte deriverbar i en punkt.

Uppgifter med absolutbelopp

I Matematik 3 ser många uppgifter relaterade till absolutbelopp väldigt lika ut: Det brukar vara nån ekvation med $x$ och absolutbelopp, och man ska lösa för $x$. Därför diskuterar vi nedan hur man löser sådana uppgifter och går igenom några exempel.

Svårigheten med absolutbelopp är att man inte i förväg vet om det som står inuti är positivt eller negativt. Det vi får göra då är att falluppdela. Falluppdelning betyder att man låtsas som att något av flera alternativ är sant, och ser vilken slutsats man kan dra.

Kolla till exempel på ekvationen $|x-3| = 2$. Eftersom vi inte vet om det som står inuti absolutbeloppet är noll eller positivt, eller negativt så vet vi inte om $|x-3| = x-3$ eller om $|x-3| = -(x-3) = -x + 3$. Alltså kollar vi helt enkelt båda fall. Tänk om $x-3$ vore noll eller positivt, det vill säga om $x \geq 3$. Då skulle $|x-3|$ vara likamed $x-3$, och ekvationen vore istället $x-3 = 2$ som vi får till $x = 5$ genom att addera $3$ på båda sidor. Om istället $x-3$ vore negativt, det vill säga om $x < 3$, då är $|x-3| = -(x-3) = -x+3$. I så fall blir ekvationen $-x + 3 = 2$ som vi ser har lösningen $x = 1$. Ekvationen har alltså två lösningar, $x = 5$ och $x = 1$.

Vi kan titta på en lite svårare ekvation: $|2x - 3| = 4 - 4x$. Vi vet inte om $2x-3$ är negativ eller ej, så vi får falluppdela precis som ovan. Om $2x - 3$ är negativ, det vill säga om $2x - 3 < 0$ (som kan skrivas som $x < \frac{3}{2}$), då är $|2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x$. Då blir ekvationen $3 - 2x = 4 - 4x$, som blir $2x = 1$ om man adderar $4x$ till båda sidor och subtraherar $3$. Alltså är $x = 1/2$ en lösning till den ursprungliga ekvationen.

Om istället $2x - 3$ är noll eller större än noll, det vill säga om $2x-3 \geq 0$ (som är samma som att $x \geq \frac{3}{2}$), då är $|2x - 3| = 2x - 3$. Isåfall är ekvationen $2x - 3 = 4 - 4x$. Om vi adderar först $3$ och sen $4x$ på båda sidor blir ekvationen $6x = 7$, som har lösningen $x = \frac{7}{6}$. Så ekvationen har en till lösning som är $x = \frac{7}{6}$, eller? NEJ, eftersom hela den andra delen av uträkningen bara funkar om $x \geq \frac{3}{2}$. Men vi ser att $\frac{7}{6} < \frac{3}{2}$, så detta är en så kallad falsk lösning.

Du måste vara noggrann med att alltid kolla att de lösningar du hittar inte är falska lösningar, på samma sätt som när du löser rotekvationer. Kolla gärna att lösningarna vi hittade till den första ekvationen faktiskt är lösningar. Det finns två sätt att kolla att en lösning inte är falsk. Ett är att kolla om lösningen stämmer med det fallet vi behandlar, till exempel att en lösning faktiskt är mindre än $\frac{3}{2}$ om vi gör fallet när $x < \frac{3}{2}$. Det andra är att helt enkelt sätta in lösningen och se att ekvationen stämmer. I båda fall kommer det bli fel om lösningen var en falsk lösning, och då kan du helt enkelt strunta i den lösningen.