Logaritmer
Grundläggande om logaritmer
Du är redan väl bekant med multiplikation och division där $a \cdot b = c$ betyder "Om man tar talet $a$ och adderar det med sig själv $b$ gånger, så får man $c$". Division svarar på den omvända frågan: $c/a = b$ betyder just "Om man har talet $a$, hur ofta måste man addera det till sig själv för att få $c$?". Eftersom $a\cdot b = c$ så är svaret just $b$.
Vi kan tänka på samma sätt om hur exponentialfunktioner och logaritmer förhåller sig till varandra.
$a^b = c$ betyder "Om man tar talet $a$ och multiplicerar det med sig själv $b$ gånger, så får man $c$". Om man bara vet $a$ och $c$ kan vi ställa frågan "Hur ofta måste man multiplicera $a$ med sig själv för att få $c$?". Svaret vore då $b$, eftersom $a^b = c$. Vi skriver detta som att \begin{equation} \log_a(c) = b, \end{equation} och man läser detta som "logaritmen med basen $a$ av $c$ är $b$". Detta är mattespråk som betyder precis "Man måste ta $a$ med sig själv $b$ gånger för att få $c$".
Många har svårt för den definitionen av logaritmer, men det blir tydligare med ett exempel. Till exempel vet vi att $2^4 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16$. Vad är då $\log_2(16)$? Eftersom man måste gångra $2$ med sig själv $4$ gånger för att få $16$, så är svaret att $\log_2(16) = 4$.
Tänk på... att logaritmer också kan vara decimaltal, och alltså inte måste vara heltal, på samma sätt som det är helt okej att multiplicera med decimaltal. Vi kan också ha decimaltal som bas.Logaritmlagar
För att räkna med logaritmer och lösa ekvationer behöver vi räkneregler, som oftast kallas för "logaritmlagarna". De sammanfattas i tabellen nedanför.
| Logaritmlag | Exempel |
|---|---|
| $\log_a(x\cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)\quad\quad$ | $\log_3(20) = \log_3(4) + \log_3(5)$ |
| $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$ | $\log_2(\frac{16}{5}) = \log_2(16) - \log_2(5)$ |
| $\log_a(x^y) = y\cdot\log_a(x)$ | $\log_2(27) = \log_2(3^3) = 3\cdot\log_2(3)$ |
En annan viktig egenskap för logaritmer är bland annat att $a^{\log_a(b)} = b$. Det är också viktigt att kunna byta mellan olika baser. Om vi vet $\log_a(x)$ och vill byta till basen $b$, då kan vi använda regeln \begin{equation} \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}. \end{equation}
Vanliga baser
En vanlig källa till förvirring kring logaritmer är att folk använder olika notationer för att beskriva vanliga baser. De vanligaste baserna är $10$ och $e$, talet som vi känner igen från exponentialfunktioner. Eftersom dessa används så ofta brukar man inte skriva $\log_{10}(x)$ eller $\log_e(x)$. Istället för $\log_e(x)$ brukar man skriva $\ln(x)$, eftersom logaritmen med bas $e$ brukar kallas den naturliga logaritmen. Logaritmen med bas $10$ av $x$ skrivs oftast som $\lg(x)$. Ibland kan man också se $\log(x)$, utan någon bas. Oftast betyder detta att basen är $10$ eller $e$, och det brukar inte användas om det inte är tydligt från sammanhanget vad basen ska vara.