Lös ekvationssystem med hjälp av substitutionsmetoden!
Ekvationssystem - Genomgång och exempel
Vi kommer att gå igenom grafisk och algebraisk lösning, addition och substitutionsmetoden samt system med tre okända variabler.
Ett ekvationssystem är precis som det låter, ett system där olika ekvationer innehåller en mängd variabler. De flesta ekvationssystem som vi kommer stöta på innehåller två variabler, dessa löses antingen med substitutionsmetoden eller additionsmetoden. Vi kommer att gå igenom båda två varianter. Båda metoder kommer alltid att fungera, men substitutionsmetoden är i större utsträckning mer användbar, denna är att föredra! För enkelhetens skull arbetar vi i denna artikel bara med linjära ekvationssystem och hur man löser dem.
Ett typiskt ekvationssystem ser ut så här
Detta innehåller två ekvationer och två variabler. Man kallar det för ett system med två obekanta. Vidare kan vi notera att båda dessa ekvationer är räta linjer, vi har alltså ett linjärt ekvationssystem.
Om vi ritar upp dessa ekvationer så ser vi att lösningarna till ekvationssystemet är skärningspunkter
mellan linjerna. Detta beror ju på att vi har exakt ett värde på x och ett värde på
y som lösningar, dessa går ju självklart att representera som koordinater $(x,y)$ 
Detta innebär att en grafisk lösning är då du ritar upp ekvationerna i samma koordinatsystem och avläser skärningspunkten. En algebraisk lösning är när du beräknar med hjälp av substitutionsmetoden eller additionsmetoden.
En grafisk lösning till ett ekvationssystem ger sällan många poäng, du behöver alltså veta hur man använder någon algebraisk lösningsmetod.
Ekvationssystem är användbara i samtliga fall där du kan ställa upp ekvationer för olikafall. Det kan vara till exempel vad olika personer betalar för olika varor. Vi kommer att använda ekvationssystem i alla kurser framöver och det är viktigt att du kan lösa dessa.
Det viktigaste med ekvationssystem är att du inser vilka ekvationer du ska ställa upp och när ett ekvationssystem faktiskt behövs(det är inte alltid givet i uppgiften!). För detta krävs väldigt mycket repetition på just uppgifter med någon typ av problemlösning, alltså en uppgift med kontext i verkligheten.
Du kan stöta på ett ekvationssystem med tre obekanta. Det löser du på samma sätt, men det kommer att bli fler ekvationer. För att ett system med tre obekanta variabler ska vara lösbart så gäller det ju att du har tre stycken ekvationer.
Ett ekvationssystem kan ha tre typer av lösningar.
1. En lösning för varje variabel
Innebär att vi kommer ha lösningar i form av t.ex. $y=3$, $x=2$. Det sker som en följd av att antalet ekvationer är densamma som antalet obekanta variabler.
2. Oändligt många lösningar
När linjerna ligger på varandra, dvs alla punkter är skärningspunkter får vi oändligt många lösningar.
Det kan en lösning se ut så här $y=2x$. Rent grafiskt så sker detta när dina linjer har samma m-värde - skärningspunkt med x-axeln och k-värde (lutningen). De kommer alltså ligga på varandra, hela tiden.
3. Inga lösningar
Lösningar saknas helt när linjerna är parallella. Detta sker när linjerna har olika m-värden men samma lutning. Då kommer linjerna aldrig att passera samma koordinat.
Då ser lösningen ut i stil med $4=3$ vilket vi vet är osant.
Lös följande ekvationssystem med additionsmetoden $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=8 \\ 2 x+4 y=8\end{array}\right.$
Börja med att multiplicera den ena eller båda ekvationerna med något tal sådant att koefficienterna för x(eller y) blir motsatt tal.
Addera sedan ledvis för att få bort en av variablerna.
Lös följande ekvationssystem med additionsmetoden $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=8 \\ 2 x+4 y=8\end{array}\right.$ (1)
Lösning. För att få bort $x$-termerna vid additionen, multiplicerar vi den första ekvationen med 2 och den andra med $-3$.
$\left\{\begin{array}{l}6 x+4 y=16 \\ -6 x-12 y=-24\end{array}\right.$
Vi ledvis adderar ekvationerna och får
$$\begin{aligned} &-8 y=-8 \\ &y=1 \end{aligned} $$
$y=1$ insättes i ekvationen (1) $3 x+2 \cdot 1=8$, vilket ger $x=2$.
$x=2, y=1$
Lös ekvationssystemet $\begin{cases} 6x+12y=3\\2x-8y=3 \end{cases}$
Lös ut $x$ ur $(2)$:
$2x=8y+3$
$\Rightarrow x=4y+\frac{3}{2}$
Sätt in i $(1)$:
$6\cdot \left ( 4y+\frac{3}{2} \right )+12y=3$
$24y+9+12y=3$
$36y=-6$
$y=-\frac{1}{6}$
Ekvation $(2)$ ger nu:
$2x-8\cdot \left ( -\frac{1}{6} \right )=3$
$2x=\frac{18}{6}-\frac{8}{6}$
$x=\frac{5}{6}$
Substititionsmetoden eller additionsmetoden?
Fördelen med substitutionsmetoden är att den alltid fungerar, framförallt så är den enklare när uppgifterna är av svårare karaktär. Om du lär dig substitutionsmetoden så kommer du alltid att kunna beräkna alla ekvationssystem.
På vissa frågor är additionsmetoden snabbare och enklare. Det är förstås bra att känna till båda två, men om du bara fick välja en så förespråkar jag substitutionsmetoden.
Jag rekommenderar starkt att du gör de uppgifter som finns i vår uppgiftsbank. Många uppgifter från prov består av någon form av problemlösning.
Gör dessa tester för att se om du har förstått teorin!
Ofta så vill folk ha bra lösare till ekvationssystem. Jag brukar rekommendera www.wolframalpha.com, skriv in dina två ekvationer separerat med ett kommatecken.