PQ formeln - Allt du behöver veta om andragradsekvationer

Andragradsekvationer är ekvationer där den högsta potensen för en variabel är två och ser ut enligt $ax^2+bx+c=0$ där a och b är koefficienter, för att högsta potensen skall vara två måste a vara skild från noll, $a \neq 0$

En andragradsekvation har enligt algebrans fundementalsats alltid två lösningar, i denna kurs kommer vi enbart att betrakta de reella som giltiga lösningar. Det finns alltså ett scenario där det finns både reella och icke-reella (imaginära) lösningar.

Metoden för att lösa andragradsekvationer är PQ-formeln.

PQ-formeln ser ut så här

$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$

Lite längre ned så finns ytterligare förklaring i form av en härledning.

Vi noterar att den har koefficienterna P och Q istället för a,b,c. Det har att göra med att a,b är koefficienter till ett andragradspolynom medan P är koefficient till ett polynom som är färdigt för PQ-formeln. Ett polynom som är redo att stoppas in i pq-formeln ser ut på formen $x^2+px+q=0$, vi måste alltså få bort koefficienten a på något sätt.

För att förbereda en ekvation för pq kan det kan se ut så här

Du har ekvationen $2x^2+4x=6$

Den uppfyller ju inte de två översta krav vi har, så vi måste göra om den. Skriv över så allt är lika med noll!

$2x^2+4x-6=0$

Vi måste ju även ha $x^2$ utan koefficient så vi får dividera med två. $ \Rightarrow x^2+2x-3=0$

Vi vet sedan tidigare avsnitt att vi inte kan ha negativa tal under rottecknet, detta ger oss komplexa lösningar vilket vi inte håller på med i denna kurs.

Lösningarna för dessa ekvationer är de skärningspunkter för vilka parabeln $ax^2+bx+c$ skär x-axeln. Detta är ekvivalent med att om funktionen saknar skärningspunkter så har den enbart komplexa lösningar.

Detta kan beskrivas matematiskt sådant att om $\frac{p^{2}}{4}-q\geq 0$ så har vi reella lösningar och därmed nollställen.

PQ förekommer på varenda prov och det är viktigt att du är bekväm med den, vi rekommenderar starkt att du gör tillräckligt många uppgifter med andragradsekvationer för att kunna den helt utan problem. På Pluggie kan du ta del av många övningar och uppgifter från tidigare prov som innehåller pq-formeln.

Kort och gott så använder du denna lösningsmetod på ekvationer som är på formen $ax^2+px+q=0$

Har du inte en bx-term så kan du använda vanliga lösningsmetoden för kvadratrötter.

Om du ska lösa pq formeln utan q så kan du använda dig av faktorisering och nollproduktmetoden istället, men det fungerar lika bra med PQ-formeln! - Bara att din q-term blir 0. Förklaringen till nollproduktmetoden kommer i ett annat kapitel men här är en snabbvariant.

Härledning av - och så här bevisar du PQ-formeln

$x^2+px+q=0$

Vi adderar $\frac{p^2}{4}$ till båda sidor och flyttar över q

$x^{2}+p x+\frac{p^{2}}{4}=\frac{p^{2}}{4}-q$

Vi kan nu skriva om vänsterledet med hjälp av kvadreringsregeln.

$\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}=\frac{p^{2}}{4}-q$

Och lite förenkling

$x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q} \Rightarrow x=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}$

I den amerikanska skolan så lär man sig inte PQ-formeln, de har en annan variant där man inte behöver "förbereda" funktionen, men det blir lite klurigare beräkningar, denna är känd som lösningsformeln eller rotformeln. Så man kan säga att PQ-formeln på engelska ser ut såhär för $ax^2 + bx+c=0$

$\frac{x=-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Gör dessa tester för att se om du har förstått teorin!