Potenser och potenslagar - matematik 2
Vad är en potens?
En potens är ett uttryck där du har en bas upphöjt till något. T.ex $4^3$ där 4 är basen och 3 är potensen. Det uttalas som “fyra upphöjt till tre”. I den här artikeln går vi igenom allt du behöver veta om potenser och hur lagarna fungerar.
Det innebär att du har multiplicerat talet 4, tre gånger. $4^3=4 \cdot 4 \cdot 4$. Det första sättet att skriva på kallas för potensform.
$a^b$ innebär att vi multiplicerar a med sig själv b antal gånger.
Det är värt att lägga tid på att förstå potenser eftersom dem återkommer i alla kurser i matematik, inte bara i början.
För all beräkning med potenser finns det olika lagar, vissa är vanligare än andra. Du kan se alla potenslagar här nedanför.
Potenslagarna
Med hjälp av potenslagarna kan du lösa nästan alla uppgifter, se till att du kan dessa. Du brukar även få ha med dig ett formelblad på provet. Dessa är vanligt förekommande i beräkningar och framförallt på lite mer avancerad nivå eller högre betygskriterier.
Med positiva tal som helttalsexponent kan potenslagarna skrivas som olika formler.
$a^{x} \cdot a^{y}=a^{x+y}$
$\left(a^{x}\right)^{y}=a^{x \cdot y}$
$\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}$
$(a \cdot b)^{x}=a^{x} \cdot b^{x}$
$a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}$ där $a \neq 0$
$a^{\frac{1}{x}}=\sqrt[x]{a}$
$a^{0}=1$
Här är det viktigt att hålla koll på baserna
Multiplikation och Division med olika potenser
För att multiplicera ihop termer med olika potenser krävs att de har samma bas, vi kan nämligen inte använda våra räkneregler för multiplikation om de har olika bas. Regeln är för multiplikation och division med olika potenser är
$a^{x} \cdot a^{y}=a^{x+y}$ och $\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$
Beräkna $2^3 \cdot 2^2$ med hjälp av potensreglerna.
Vi börjar med att skriva ihop termerna enligt den första regeln
$2^3 \cdot 2^2 = 2^{2+3}$
Detta kan sedan beräknas
$2^{2+3}=2^5=32$
Beräkna $\frac{2^4}{2^2}$ med potensreglerna.
Vi skriver om med hjälp av den tredje regeln
$\frac{2^4}{2^2}=2^{4-2}$
Och sedan kan vi förenkla
$2^{4-2}=2^2=4$
Potens med olika baser
I de fall att du har olika baser så måste du tänka till lite extra, potensreglerna gäller ju inte i dessa fall. I vissa fall kan du räkna ut talen direkt och i andra fall så måste du göra förenklingar. Vi vill åstadkomma ett scenario där vi har samma bas överallt för att kunna använda oss av potenslagarna.
Kolla på exemplet nedan och notera hur vi skriver om 8.
Beräkna $2^4 \cdot 8$ genom att skriva allting på basen 2.
Eftersom $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $ kan vi skriva $8=2^3$
Detta ger oss
$2^4 \cdot 8=2^4 \cdot 2^3$
Och med den översta potensregeln
$2^4 \cdot 2^3=2^{4+3}=2^7=128$
Det går inte alltid att skriva på samma bas, i ett sånt fall får du räkna på det du kan!
Potens med potens
För potens som också har en potens gäller den andra potensregeln, $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{x \cdot y}$
Skriv $\left ( 3^2\right )^2$ som en potens
Vi använder den femte regeln
$\left ( 3^2\right )^2=3^{2 \cdot 2}$
Som kan förenklas till
$3^{2 \cdot 2}=3^4=81$
Potens med negativ exponent
En negativ exponent kan inverteras, vi kan “vända” på den.
$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$
Lös ekvationen $x^{-2}=\frac{1}{9}$
Om vi inverterar, skriv om till
$\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9}$
Så inser vi att
$x^2=9$
$x= \pm 3$
Potens med exponent noll
“Allting upphöjt till noll är ett”. Det finns vissa undantag, bland annat $0^0$ och $\inf ^0$, dessa är icke definierade. I övrigt är alla tal upphöjt till 0 lika med 1.
$a^0 = 1$
En enkel matematisk förklaring kan vi få ur tredje regeln.
$1=a^0 = a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}=1…$
där n är något tal.
Potens på miniräknaren
Att räkna potens på miniräknaren kan ibland vara klurigt. Du behöver oftast skriva det med 3^2=9
Potensfunktion
Det finns även något som heter potensfunktion, det innebär att din variabel har en exponent. Vi går inte igenom det speciellt mycket i detta kapitel, utan det återkommer i exponentialfunktioner för matematik 2.
Ett exempel på potensfunktion är $f(x)=x^2$
Tiopotenser
En tiopotens är en potens med basen 10 och används ofta för att beskriva stora tal. Exponenten brukar vara ett heltal, till exempel $10^3$.
En mycket bra minnesregel för tiopotenser är att talet i exponenten avgör hur många nollor som kommer efter ettan.
Talet $10^3=1000$ där vi kan se att exponenten är 3 och talet 1000 innehåller tre nollor.
Man kan självklart även multiplicera en tiopotens, kolla på exemplet nedan.
Vad är $5 \cdot 10^2$?
$5 \cdot 10^2$ $= 5 \cdot 100$ $= 500$
Potensekvationer
En potensekvation är en typ av ekvation där ena ledet innehåller en variabel upphöjt till något tal och andra ledet innehåller en konstant. Till exempel $x^3 = 27$.
Dessa är ganska omfattande och vi går igenom dem närmare i kapitlet om just potensekvationer.