Kaströrelse

Kaströrelse eller kastparabel är den båge som bildas när ett objekt färdas genom luften, enbart påverkat av tyngdaccelerationen. Vanliga exempel är att man kastar en sten eller en boll. Till slut kommer föremålet, med hjälp av dess tyngd att falla till market vilket bildar en parabel. Det är vanligt att man gör laborationer med kastparablar och det här dokumentet räcker till att svara på de flesta av dina frågor.

För enkelhets skull så brukar man räkna bort luftmotståndet. Om luftmotståndet inte bidrar med någon energiförlust så kommer summan av rörelseenergi och lägesenergi att vara konstant hos föremålet.

Kastparabelns koordinatsystem

Vi kommer att använda oss av ett vanligt tvådimensionellt xy-koordinatsystem. Det allra enklaste är att definiera positivt y riktat uppåt och positivt x riktat i objektetets horisontella riktning. (höger i min bild ovan)

I det enklaste av fallen kan origo placeras i startpunkten, förutsatt att ingen starthöjd är given.

Om annat vore fallet, till exempel då en person som är 1.80 m lång skall kasta en boll, så borde du sätta origo vid denne persons fötter och räkna med den extra höjden i din vertikala sträcka.

Partikelns acceleration

Oavsett var objektet befinner sig så kommer tyngdaccelerationen att vara den enda accelerationen som verkar, och den sker vertikalt nedåt. Vi kan göra det antagandet genom att vi med säkerhet kan konstatera att ingen annan utomstående kraft verkar på objektet under någon tid av förloppet. Det befinner sig i fritt fall! Om det skulle vara så att vi har en extern kraft så kommer bollens acceleration att påverkas.

Detta är den bidragande faktorn till att objektet till slut når marken.

Utgångshastighet

$v_0$ delas upp i $v_{0y}$ och $v_{0x}$ Hastigheten som objektet initialt ges uppdelad i komposanter definierade i ett xy-koordinatsystem. Komposanterna kan du hitta med hjälp av trigonometri. Utgångshastighetens för en kaströrelse delas oftast upp som komposanter givet den utgångshastig $v_0$ och kastvinkeln $\alpha$.

Formeln för utgångshastighet blir ju därmed resultanten av dess komposanter, $v_0^2 = v_{0y}^2+ v_{0x}^2$. Utgångshastighet kan till exempel vara den hastighet när en kula lämnar pistolens mynning.

Utgångsvinkeln

Kan enklast beskriva som den vinkel som verkar mellan utgångshastigheten och horisontalplanet (x-axeln). Formeln för utgångsvinkeln är

Du kan alltså beräkna kastvinkeln bara med trigonometri, givet att du vet utgångshastighetens komposanter.

Fun fact; utan luftmotstånd, för att ett objekt ska komma så långt som möjligt bör man ha 45 grader utgångsvinkel – En bra övning är att bevisa hur detta kommer sig! Det vill säga – Längst kast fås vid 45 grader!

Med luftmotstånd är det snarare runt 43 grader för att sparka en fotboll, men ca 35 grader för att skjuta ett gevär.

Partikelns hastighet

Vi börjar med hastigheten i horisontalled, x-ledet. Vi vet sedan tidigare att accelerationen i denna riktning är 0, vilken hastighet har ett objekt med noll acceleration? – Jo, konstant hastighet! Tänk på att hastigheten är en vektor och att just den horisontella hastigheten alltid pekar parallellt med horisontalplanet (din x-axel, i dess riktning). Vi kan alltså påstå att hastigheten i x-led alltid är densamma, den är konstant lika med utgångshastigheten i x-led, se ekvation (2).

Formeln för horisontell hastighet vid någon tidpunkt är

För hastigheten I y-led så visste vi att den var påverkad av tyngdaccelerationen. Vi kommer att använda oss av det kinetiska sambandet $v=v_0 t + at$, den enda skillnaden är att accelerationen a är tyngdaccelerationen $a=-g=-9.81$ som ju är negativ därför att den verkar motsatt vår y-axel i koordinatsystemet. Vi kan nu skriva vertikalledets hastighet. Hastighetsvektorn för y-komposanten kommer att peka uppåt till dess att bollen vänder och rör sig nedåt, på nedåtvägen så pekar hastighetsvektorn mot marken.

Formeln för vertikal hastighet vid någon tidpunkt är

Objektets position och lägeskoordinater

Givet att vi har en viss hastighet på bollen så vet vi att bollens position kommer att variera i tiden. Vi kommer att skriva om det kinetiska sambandet $s=v_0t+\frac{at^2}{2}$

I x-led kommer vi ihåg att accelerationen är noll. Dess position kan formuleras som

I y-led ser det lite annorlunda ut eftersom objektet är under inverkan av tyngdaccelerationen.

Objektets position vid en godtycklig tidpunkt kan ju självklart skrivas som koordinater i vårt koordinatsystem, (x,y).

Tiden

Tiden fortlöper ju hela tiden med början $t=0$, förslagsvis där $x=0$. Vad som är viktigt att tänka på är ju att tiden är densamma både i x-led och y-led. Det kan vi använda när vi ska räkna på till exempel en sträcka.

Exempel; Beräkna hur långt Erik kastade bollen Om vi med hjälp av y-led kan beräkna att bollen kommer att vara i luften t sekunder, så kan vi använda denna tid t i vår ekvation (3) för sträckan i x-led.

Partikelns höjd över nollpunkten.

Vid maxhöjden som objektet uppnär, dvs högst upp på kastparabeln innan den vänder så är hastigheten i y-led noll.

Forrmeln för objektets maxhöjd är

Härledning med lite differentialekvationer

Om vi utgår ifrån att

$y''=accelerationen = -g$

så integrerar vi accelerationen till hastigheten,

$ v = y'=\int -g dt =gt+c_1$

Vid $t=0$ så är hastigheten utgångshastigheten dvs $v_0$. $\Rightarrow c_1 = v_0$

Och sedan integrerar vi hastigheten till lägespositionen,

$y=\int y' = \int -gt + v_0 dt= -\frac{gt^2}{2}+v_0 t + c_2$

Om vi nu påstår att vi startar i origo, så har vi inget behov av $c_2$, då kan vi alltså konstatera att

$y= v_0 t + \frac{gt^2}{2}$ som är densamma som ekvation (4).

Den extra godtyckliga konstanten $c_2$ kan med lite finess användas om man har en startsträcka.

Kastparabeln återfinns ju även för en partikel som rör sig genom ett elektriskt fält. Denna partikel är påverkad utav konstant acceleration vinkelrätt mot dess hastighet och bildar således en krökning. Samma formler som för en vanlig kaströrelse gäller! På engelska kallas kastparabeln eller kaströrelsen för trajectory, det är själva banan som bildas när något färdas genom luften.