Produktregeln
Ofta vill vi hitta derivatan av en funktion som är produkten av två funktioner. I vissa fall kan vi beräkna produkten direkt för att få funktionen på en form som vi kan derivera. Om vi till exempel vill hitta derivatan till $f(x) = (x-2)\cdot(3x + 5)$ så är det absolut lättast att multiplicera ut parenteserna till $f(x) = 3x^2 - x - 10$ och derivera den funktionen med reglerna för derivering av polynom för att få $f^\prime(x) = 6x - 1$. Men vad gör vi om vi har en funktion som $f(x) = x\cdot \sin(x)$? Då behöver vi produktregeln.
Produktregeln är en formel för att hitta derivatan av en funktion som är produkten av två andra funktioner. En sådan funktion kan skrivas $f(x) = g(x)\cdot h(x)$ där $g(x)$ och $h(x)$ är några funktioner. Produktregeln säger då att \begin{equation} f^\prime(x) = g(x)\cdot h^\prime(x) + g^\prime(x)\cdot h(x). \end{equation}
Exempel 1: Hitta derivatan till $f(x) = (x-2)\cdot(3x + 5)$ med produktregeln.
Vi ser att funktionen är produkten av funktionerna $g(x) = x - 2$ och $h(x) = 3x + 5$. Då är det lätt att beräkna $g^\prime(x) = 1$ och $h^\prime(x) = 3$. Nu kan vi använda produktregeln och ser att \begin{equation} f^\prime(x) = g(x)\cdot h^\prime(x) + g^\prime(x)\cdot h(x) = (x - 2)\cdot3 + 1\cdot(3x + 5) = 6x - 1. \end{equation} Det blir alltså samma svar som vi fann ovan.Exempel 2: Hitta derivatan till $f(x) = \sin(x)\cdot(2x^3 - 8)$.
Här ser vi en mer komplicerad funktion som vi inte kan förenkla och derivera direkt. Vi ser dock att $f(x) = g(x)\cdot h(x)$ om $g(x) = \sin(x)$ och $h(x) = 2x^3 - 8$, och dessa två funktioner kan vi hitta derivatorna till med regler som vi redan har lärt oss. Vi kan derivatan av sinusfunktionen, så $g^\prime(x) = \cos(x)$. $h(x)$ är ett polynom, så $h^\prime(x) = 6x^2$. Alltså är med hjälp av produktregeln \begin{equation} f^\prime(x) = \sin(x)\cdot6x^2 + \cos(x)\cdot(2x^3 - 8). \end{equation} Resultatet är fortfarande en rätt krånglig funktion, men vi har i alla fall fått fram ett resultat.Exempel 3: Hitta derivatan till $f(x) = \sin^2(x)$ med produktregeln.
Om uppgiften inte hade sagt något om metod så hade vi kunnat använda kedjeregeln här. Nu kan vi istället inse att $f(x) = g(x)\cdot h(x)$ med $g(x) = h(x) = \sin(x)$. Då är $g^\prime(x) = h^\prime(x) = \cos(x)$. Med produktregeln är isåfall \begin{equation} f^\prime(x) = \sin(x)\cdot \cos(x) + \cos(x)\cdot\sin(x) = 2\sin(x)\cos(x). \end{equation}- Om $f(x) = g(x)\cdot h(x)$
- Hitta de två funktioner $g(x)$ och $h(x)$.
- Hitta derivatan till båda.
- Sätt in de två funktionerna och deras derivator i formeln $f^\prime(x) = g(x)\cdot h^\prime(x) + g^\prime(x)\cdot h(x)$.
- Multiplicera med derivatan av den inre delfunktionen.