Kvotregeln
I stycket om produktregeln lärde vi oss hur man gör för att derivera en funktion som kan skrivas som produkten av två andra funktioner. Kvotregeln är väldigt liknande och beskriver hur vi deriverar funktioner som kan skrivas som kvoten av två andra funktioner. Kvotregeln lyder som följer: Om vi har en funktion $f(x)$ som kan skrivas som \begin{equation} f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \end{equation} där $g(x)$ och $h(x)$ är några funktioner, då är derivatan av $f(x)$ \begin{equation} f^\prime(x) = \frac{h(x)\cdot g^\prime(x) - g(x)\cdot h^\prime(x)}{(h(x))^2}. \end{equation} Formeln är lite krångligare än produktregeln, men principen är den samma. Tänk på att formeln inte gäller om $h(x) = 0$, eftersom det är otillåtet att dividera med $0$.
Exempel 1: Derivera $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{3x - 5}$
Vi ser att funktionen är kvoten av $g(x) = x^2 + 2x + 3$ och $h(x) = 3x - 5$. Då kan vi beräkna att $g^\prime(x) = 2x + 2$ och $h^\prime(x) = 3$. Insättning i formeln för kvotregeln ger då att \begin{align*} f^\prime(x) &= \frac{h(x)\cdot g^\prime(x) - g(x)\cdot h^\prime(x)}{(h(x))^2} \\ &= \frac{(3x - 5)\cdot(2x + 2) - (x^2 + 2x + 3)\cdot3}{(3x - 5)^2} \\ &= \frac{6x^2 - 10x + 6x - 10 - 3x^2 - 6x + 9}{9x^2 - 30x + 25} \\ &= \frac{3x^2 - 10x - 1}{9x^2 - 30x + 25}, \end{align*} som är svaret.Exempel 2: Derivera $f(x) = \frac{\cos(x)}{x+1}$.
Funktionen $f(x)$ är kvoten av $g(x) = \cos(x)$ och $h(x) = x + 1$. Då är $g^\prime(x) = -\sin(x)$ och $h^\prime(x) = 1$. Insättning i formeln för kvotregeln ger att derivatan är \begin{align} f^\prime(x) &= \frac{h(x)\cdot g^\prime(x) - g(x)\cdot h^\prime(x)}{(h(x))^2} \\ &= \frac{(x+1)\cdot(-\sin(x)) - \cos(x) \cdot 1}{(x+1)^2} \\ &= -\frac{\sin(x) + \cos(x) + x\sin(x)}{x^2 + 2x + 1}, \end{align} som är svaret.Vi kan även använda kvotregeln för att hitta derivatan till funktioner som man inte direkt ser är kvoter av två andra funktioner: Ibland gäller det att vara lite klurig. Titta till exempel på exemplet som följer.
Exempel 3: Hitta derivatan till $f(x) = \tan(x)$ med kvotregeln.
Uppgiften ger en ledtråd om att vi kan skriva $f(x)$ som en kvot för att göra beräkningen av derivatan lättare. Kom ihåg att \begin{equation} f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}, \end{equation} så $f(x)$ är faktiskt kvoten av två funktioner som vi vet hur man deriverar. Om vi låter $g(x) = \sin(x)$ och $h(x) = \cos(x)$, då är $g^\prime(x) = \cos(x)$ och $h^\prime(x) = -\sin(x)$. Vi kan använda kvotregeln för att beräkna \begin{align} f^\prime(x) &= \frac{h(x)\cdot g^\prime(x) - g(x)\cdot h^\prime(x)}{(h(x))^2} \\ &= \frac{\cos(x)\cdot\cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} \\ &= \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\ &= \frac{1}{\cos^2(x)} \end{align} där vi i sista steget använde den trigonometriska identiteten $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.Om $f(x)$ kan skrivas som $\frac{g(x)}{h(x)}$:
- Hitta de två funktioner $g(x)$ och $h(x)$.
- Hitta derivatan till båda.
- Sätt in de två funktionerna och deras derivator i formeln \begin{equation} f^\prime(x) = \frac{h(x)\cdot g^\prime(x) - g(x)\cdot h^\prime(x)}{(h(x))^2} \end{equation}
- Förenkla så långt som möjligt.