Komplexa tal

Imaginära tal

När vi löser kvadratiska ekvationer behöver vi nästan alltid ta roten av någonting. Vi har lärt oss att man bara kan ta roten av tal som inte är negativa, så tidigare har vi till exempel sagt att ekvationen $x^2 + 1 = 0$ saknar lösning, eftersom vi får $x^2 = -1$ och sen $x = \pm\sqrt{-1}$.

Faktum är att ekvationen har lösningar, men dessa är ej reella. Vi inför ett tal $i$ som rent formellt heter den imaginära enheten.

Talet $i$ definierar vi så att $i^2 = -1$, det vill säga så att $i = \sqrt{-1}$. Då har alltså ekvationen $x^2 + 1 = 0$ plötsligt två lösningar, nämligen $x = i$ och $x = -i$. Vi kan addera, multiplicera, subtrahera och så vidare med $i$ på samma sätt som vanligt.

Till exempel är $i + i = 2i$, och $3i - 4i = -i$. Tal som är på formen $ai$ för något reellt tal $a$ kallas för imaginära tal.

Komplexa tal

Faktum är att vi kan addera, subtrahera och så vidare med reella och imaginära tal samtidigt. Då får vi så kallade komplexa tal, som brukar betecknas med $z$ istället för med $x$.

Varje komplext tal kan med hjälp av våra vanliga räkneregler skrivas om på formen $z = a + bi$, där $a$ och $b$ är reella tal.

När vi skriver komplexa tal på det viset kallas de skrivna på rektangulär form. Då kallas $a$ för realdelen av $z$, och betecknas ibland som $\textrm{Re} \,z$. Det reella talet $b$ kallas för imaginärdelen av $z$ och brukar betecknas som $\textrm{Im} \,z$.

Polär form

Vi kan också skriva komplexa tal på polär form.

I vissa fall är det mer användbart än rektangulär form. Istället för att det komplexa talet bestäms av realdel och imaginärdel så anger vi istället avståndet från origo, samt vinkeln mot $x$-axeln.

Betrakta ett komplext tal $z = a + bi$ på rektangulär form. Pythagoras sats ger att avståndet från origo är $\sqrt{a^2 + b^2}$. Vi brukar beteckna avståndet från $z$ till origo med $|z|$, som kallas beloppet av $z$.

Vinkeln kan vi räkna ut med hjälp av trigonometri, och brukar kallas för argumentet av $z$. Vi brukar skriva att $\textrm{arg}(z)$ och man kan visa att $\textrm{arg}(z) = \tan^{-1}(\frac{b}{a})$, eftersom tangens av vinkeln i fråga ges av motstående delat med närliggande, det vill säga $\tan(\textrm{arg}(z)) = \frac{b}{a}$ (Rita triangeln!).

När vi har beloppet $|z|$ och argumentet $\textrm{arg}(z)$ av $z$ kan vi skriva det komplexa talet $z$ på polär form.

Om vi betecknar $|z|$ som $r$ och $\textrm{arg}(z)$ som $\theta$, då ges $z$ på polär form av $z = r\cdot\left(\cos(\theta) + \sin(\theta)i\right)$. Med Eulers formel kan vi också ekvivalent skriva $z = re^{i\theta}$, som är ett vanligt sätt att skriva komplexa tal på.

Räkneregler för komplexa tal

När vi adderar komplexa tal så adderar vi realdelarna och imaginärdelarna separat. Om vi har två komplexa tal $z_1 = a_1 + b_1i$ och $z_2 = a_2 + b_2i$, då är $z_1 + z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i$. Det funkar på exakt samma sätt när vi subtraherar komplexa tal.

För att multiplicera komplexa tal får vi lov att multiplicera två uttryck i parenteser term för term, precis som vanligt. Vi måste dock också oftast använda att $i^2 = -1$. Vi kan expandera $z_1\cdot z_2$ som \begin{equation*} z_1\cdot z_2 = (a_1 + b_1 i)\cdot(a_2 + b_2 i) = a_1\cdot a_2 + a_1\cdot b_2 i + a_2\cdot b_1 i + b_1 i\cdot b_2i. \end{equation*} Hittils är allt som vanligt. Nu kan vi dock, eftersom $i^2 = -1$, se att \begin{equation*} b_1i\cdot b_2i = b_1\cdot b_2\cdot i\cdot i = b_1\cdot b_2\cdot i^2 = b_1\cdot b_2 \cdot (-1) = -b_1\cdot b_2. \end{equation*} Alltså blir resultatet i slutändan att \begin{equation*} z_1\cdot z_2 = (a_1\cdot a_2 - b_1\cdot b_2) + (a_1\cdot b_2 + a_2\cdot b_1) i. \end{equation*}

För att dividera med komplexa tal måste vi införa något som kallas för det komplexa konjugatet. Det komplexa konjugatet av $z$ betecknas som $\overline{z}$ och har samma realdel, men $-1$ gånger dess imaginärdel. Om alltså $z = a + bi$, då är $\overline{z} = a - bi$.

När vi dividerar med ett komplext tal är första steget att förlänga med nämnarens komplexa konjugat. Därefter kan täljare och nämnare förenklas var för sig enligt reglerna ovan.