Partiell integration
Längst ned löser vi en exempeluppgift med hjälp av partiell integration.
$\int u v^{\prime} d x=u v-\int u^{\prime} v d x$
Är den korta formeln för partiell integration. Den vanliga formeln ser ut så här.
$\int_{a}^{b}u(x)v'(x) dx = \left [ u(x)v(x) \right ]_a^b-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$
Partiell integration är en lösningsmetod som används för att integrera en funktion som innehåller två eller fler faktorer. "Partiell" betyder del och det är precis vad vi gör, delar upp en funktion och integrerar i två steg.
$\int f_{1}(x) \cdot f_{2}(x) d x$
På engelska heter det "integrate by parts" vilket är nästan en direktöversättning. Gränserna vid partiell integration fungerar på samma sätt som när du integrerar på vanligt sätt, de kommer att vara de värden för vilka du integrerar funktionen mellan.
Som du kanske är bekant med så finns det en regel för att derivera något som består av faktorer, produktregeln. Att integrera något med hjälp av partiell integration är en typ av produktregel fast baklänges (som vi känner till är integraler primitiva funktioner och en antiderivata). Partiell integration innebär att vi kommer att derivera den ena termen och integrera den andra.
För att bli duktig på denna metod krävs att du inser vilken funktion som ska deriveras samt vilken som ska integreras. Du kan alltså inte bara memomera formeln och hoppas på att det funkar. Gör de uppgifter som finns som rekommenderade i vår uppgiftsbank så kommer du lära dig tillräckligt mycket för att prestera på provet. Oftast så tar man upp partiell integration i matte 5 men vissa går igenom det i matte 4 också.
För att denna regel skall fungera gäller att båda faktorerna är kontinuerligt deriverbara funktioner.
Passa på att i matte 5 få grunderna rätt, det kommer du ha nytta av om du vill läsa matematik på universitet senare, partiell integration återkommer ofta!
- Processen för att välja rätt funktion att integrera/derivera
- Båda funktioner har enkel derivata och primitiv funktion -> Välj själv
- En är enkel att integrera och den andra är enkel att derivera -> Gör detta
- Båda har enkel derivata och en har svår primitiv funktion -> Derivera den med svår primitiv
- Båda har svår derivata och en har enkel primitiv funktion -> integrera den med enkel primitiv funktion
- Båda har svår derivata och svår primitiv funktion -> Leta substitueringar, gör det bästa av situationen
Bevis för att metoden för partiell integration fungerar.
Om $F(x) g(x)$ där $F(x)$ är den primitiva funktionen till $f(x)$ så blir
$F(x) g(x)=\int \frac{d}{d x}(F(x) g(x)) d x=$
$\int\left(F^{\prime}(x) g(x)+F(x) g^{\prime}(x)\right) d x=$
$\int\left(f(x) g(x)+F(x) g^{\prime}(x)\right) d x=$
$\int f(x) g(x) d x+\int F(x) g^{\prime}(x) d x$
Vi kan alltså skriva detta som
$F(x) g(x)=\int f(x) g(x) d x+\int F(x) g^{\prime}(x) d x \Leftrightarrow$ $\int f(x) g(x) d x=F(x) g(x)-\int F(x) g^{\prime}(x) d x$
Beräkna integralen $\int_{0}^{1}x^2 \ln x dx$
Vi börjar med att kolla vilken av $\ln x$ och $x^2$ är enklast att integrera respektive derivera. Vi resonerar så här.
Vi vet båda derivatorna, men däremot är den primitiva funktionen till $\ln x$ mycket svårare än den för $x^2$. Vi väljer alltså att integrera $x^2$ till $\frac{x^3}{3}$ och derivera $\ln x$ till $ \frac{1}{x} $.
Stoppar vi in detta i definitionen för en partiell integration så erhåller vi
$\int_{0}^{1}x^2 \ln x dx=\left [ \frac{x^3}{3}\ln x-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^3}{3} \right ]_0^1$
Glöm inte att använda intervallgränserna!
$=\left [ \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9}\right ]_0^1=\frac{1^3}{3}\ln1-\frac{1}{9}$
Och så råkar $\ln 1 = 0$...
$\frac{1}{3} \cdot 0-\frac{1}{9}=-\frac{1}{9}$