Kedjeregeln
Kedjeregeln är en formel för att hitta derivatan av en sammansättning. Om vi har funktionen $h(x) = f(g(x))$, så att $h$ är sammansättningen av $g$ och $f$, då säger kedjeregeln att \begin{equation} h^\prime(x) = f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x). \end{equation}
Man kan även skriva kedjeregeln som att \begin{equation} \frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}. \end{equation}
I den andra notationen får vi en bra minnesregel: Om vi tänker oss att $\frac{dh}{dg}$ och $\frac{dg}{dx}$ vore bråk, så skulle vi kunna multiplicera ihop dessa, förkorta bort $dg$ i både täljare och nämnare, och få precis $\frac{dh}{dx}$. Tänk dock på att detta bara är en minnesregel: Vi kan inte faktiskt förkorta derivator på det viset!
Titta nu på högerledet i första ekvationen ovan: Vi ser $g(x)$, $g^\prime(x)$ och $f^\prime(g(x))$. Vi kan oftast beräkna $g(x)$ och $g^\prime(x)$. Uttrycket $f^\prime(g(x))$ ser läskigare ut än det egentligen är: det är bara funktionen $f^\prime(x)$ utvärderad i (läs: man "stoppar in") $g(x)$. Vi kan alltså hitta $f^\prime(x)$ och helt enkelt stoppa in $g(x)$.
Det är lätt att bli förvirrad av alla parenteser i definitionen, men det blir tydligare med några exempel.
Exempel 1: Hitta derivatan till $(3x + 2)^2$.
Vi ser att funktionen är sammansättningen av funktionerna $3x + 2$ och $x^2$. Observera att det INTE är samma $x$ i de båda funktionerna: $x$ är bara namnet på det vi stoppar in i funktionen. Om vi kallar $g(x) = 3x + 2$ och $f(x) = x^2$ så blir $g^\prime(x) = 3$ och $f^\prime(x) = 2x$. Vi kan då räkna ut $f^\prime(g(x))$ genom att stoppa in $g(x)$ i $f^\prime(x)$: \begin{equation} f^\prime(g(x)) = 2\cdot(3x + 2) = 6x + 4. \end{equation} Till slut får vi då att derivatan av $(3x + 2)^2$ ges av \begin{equation} f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x) = (6x + 4)\cdot 3 = 18x + 12. \end{equation} I det här fallet kan vi också hitta derivatan på ett annat sätt: Vi kan multiplicera ut parenteserna och få $(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$. Då kan vi beräkna derivatan direkt och får att derivatan är $18x + 12$. Vi får alltså samma svar! I det här fallet är det andra sättet lättare, men båda funkar. Det är också tryggt att se att båda ger samma svar.Exempel 2: Hitta derivatan till $e^{x^2}$.
Den här uppgiften ser läskigare ut, men vi kan använda kedjeregeln på samma sätt. $e^{x^2}$ är sammansättningen av $g(x) = x^2$ och $f(x) = e^x$, eftersom $x^2$ är det som "stoppas in" i $f$. Vi ser att $g^\prime(x) = 2x$ och $f^\prime(x) = e^x$. Då kan vi stoppa in $g(x)$ i $f^\prime(x)$ och får $f^\prime(g(x)) = e^{x^2}$, och kan beräkna derivatan av $e^{x^2}$ som \begin{equation} f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x) = e^{x^2}\cdot 2x = 2xe^{x^2}. \end{equation}Som du har sett i exemplen ovan är det svåraste med kedjeregeln att det inte alltid är uppenbart vilka funktioner som en funktion är sammansättningen av, eller när den är lämplig att använda. Vi vill hitta "delfunktioner" som vi kan derivatan till, till exempel polynom, $e^x$, $sin$, $cos$ och så vidare. Det är också lätt att bli förvirrad av att att man ofta skriver $x$ som variabel i både den inre och den yttre funktionen. Här måste man tänka på att det just inte är samma $x$, utan bara namnet på det som stoppas in i funktionen.
- 1. Hitta vilka två (lätta) delfunktioner som har sammansatts för att få det vi vill derivera.
- 2. Hitta derivatan till båda delfunktioner.
- 3. Stoppa in den inre delfunktionen i derivatan av den yttre delfunktionen.
- 4. Multiplicera med derivatan av den inre delfunktionen.
Bevis av kedjeregeln
Beviset för kedjeregeln är ganska tekniskt. Det kan vara intressant och lärorikt att titta på, men bli inte rädd om du inte förstår det helt: Det kommer sällan uppgifter om beviset på prov. Vi använder definitionen av derivata för att bevisa kedjeregeln. Vi antar att $f$ och $g$ är deriverbara och kontinuerliga. \begin{align*} f(g(x))^\prime &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h) - g(x)} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot g^\prime(x). \end{align*} Gör variabelbytet $j = g(x+h) - g(x)$. Vi ser att $g(x + h) = g(x) + j$ och vi ser att $\lim_{h \rightarrow 0}j = g(x+0)-g(x) = 0$. Då är \begin{align*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} &= \lim_{j \rightarrow 0}\frac{f(g(x) + j) - f(g(x))}{j} = f^\prime(g(x)). \end{align*} Då är alltså \begin{equation*} f(g(x))^\prime = f^\prime(g(x))\cdot g(x), \end{equation*} vilket är precis kedjeregeln.