Kvadreringsregeln och konjugatregeln - Matematik 1
Kvadreringsregeln
Kvadreringsreglerna är olika formler som du stöter på inom algebran, dessa formler används för att räkna ut kvadraten på två tals summa eller differens. I enklare ord kan man säga att du utvecklar uttryck med parenteser upphöjt till två eller tre.
Det är tillsammans med PQ-formeln det som används mest inom matematiken och det är av yttersta vikt att du kan det här. För att lära dig finns det många bra övningar och uppgifter från tidigare prov, du hittar en knapp här till höger.
Formeln för de olika kvadreringsreglerna ser ut så här
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
Den översta kallas för den första kvadreringsregeln och den undre kallas för den andra kvadreringsregeln.
Det finns ju bara en skillnad mellan dessa olika formler, i det ena fallet har vi positiva tal och det i andra har vi negativa.
En bra minnesregel är att “plus i parentes - alltid plus, minus i parentes - första minus”. Själva verbet “att kvadrera” innebär att man höjer upp något till två - i detta fall en parentes. Dessa brukar även finnas med på formelsamlingen till dina prov, men det gäller att du kan använda dem rätt. Det är nästan bara användbart att använda kvadreringsreglerna om minst en term är okänd,i de fall att termerna inom parentesen är kända kan man enkelt beräkna de först.
Lös ekvationen $(5-3)^2=x$
Här kan vi enkelt beräkna parentesen först!
$(5-3)^2=(2)^2=4=x$
Nedan visar vi ett exempel på hur du med kvadreringsregeln löser en uppgift från ett tidigare kursprov.
Förenkla $(3+x)^2$
Med hjälp av kvadreringsregeln kan vi nu skriva som
$(3+x)^2=3^2+2 \cdot 3 \cdot x + x^2$
$= 9+6x+x^2$
På engelska kallas kvadreringsregeln ofta för square formula och används på samma sätt som i svenska skolan.
Kvadreringsregeln med tre termer
Formeln för detta är
$(a+b+c)^2 = a^{2}+2 a b+2 a c+b^{2}+2 b c+c^{2}$
Den används inte alls i lika stor omfattning men kan vara bra att känna till. Man behöver inte lära sig formeln utantill utan det enklare sättet är att skriva om
$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c$
$(a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b-2 a c-2 b c$
$(a-b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b+2 a c-2 b c$
$(a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2 a b-2 a c+2 b c$
Och sedan ledvis multiplicering enl
Kvadreringsregeln för upphöjt till tre
Självklart kan ju exponenten till en parentes även vara tre, t.ex $(3+x)^3$, formeln för en parentes med $^3$ är
$(a+b)^3 =a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$
$(a-b)^3 = a^{3}-3 a^{2} b+3 a b^{2}-b^{3}$
Den är lite mer omständig och inte lika intuitiv, du behöver inte kunna den utantill. Det går nämligen att räkna ut upphöjt till tre genom att faktorisera ena faktorn och göra en vanlig kvadreringsregel! Kolla på exemplet nedan.
$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2$
$= (a-b)(a^2-2ab+b^2)$
och sedan ledvis mutliplicering
Kvadreringsregeln med väldigt många termer (överkurs)
Heter Binomialsatsen och funkar på alla $(x+y)^n$ där $n \neq 0$. Den kallas även för Pascals triangel.
$(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) x^{n-k} y^{k}$
Konjugatregeln
Konjugatregeln innebär att du multiplicerar en term med dess konjugat. Konjugatet är “motsatt tecken”, till exempel är $2+x$ konjugat till $2-x$. Det vill säga, konjugatet är en ändring av tecken för en av termerna.
Formeln för konjugatregeln är
På så sätt kan du ju lära dig att känna igen formen för hur konjugatregeln skrivs, det gör att du enkelt kan faktorisera olika uttryck. Detta är en användbar funktion och du bör lägga det på minnet.
Till exempel;
$x^2-4$
Om vi räknar konjugatregeln baklänges erhåller vi att $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Det kan vara bra att öva på lite klurigare uppgifter, exempelvis med bråk eller fler potenser. Vi har många av dessa uppgifter i vår uppgiftsbank här på Pluggie.