Instruktioner

FAQ

Hur har vi tagit fram denna guide?

Vi har kollat på samtliga kursprov från 1992 i matematik 3. Tack vare detta har vi kunnat skaffa oss en mycket god uppfattning om i vilken omfattning olika uppgifter dyker upp.

Vilka förkunskaper bör jag ha?

Du bör ha kollat igenom teorin i din mattebok och repeterat vissa uppgifter. Denna guide är bra för dig som är inne på slutspurten av studierna inför kursprovet.

Hur lång tid tar det?

Du bör ha kollat igenom teorin i din mattebok och repeterat vissa uppgifter. Denna guide är bra för dig som är inne på slutspurten av studierna inför kursprovet.

Vad är den bästa studietekniken?

Vi rekommenderar att du läser igenom den teori som finns och gör anteckningar. Sedan kan du ge dig på uppgifterna, testa först att lösa uppgiften så gott du kan. Om du behöver hjälp så kan du utnyttja ledtråden.

När du har löst uppgiften så kan du kontrollera din lösning mot vår med hjälp av lösningsförslaget. Om du inte har lyckats lösa den så kontrollera vad du gjorde för fel och lär dig utav det.

Hur du presenterar en bra lösning för att få högre betyg

s Du bör börja med att sammanställa all information du har givet. Definiera alla variabler och rita en figur. Tänk på att om du inför några nya variabler så ska dessa också vara definierade i figuren eller på annat sätt.

Skriv tydligt och använd implikationspilar på ett bra sätt. Byt ofta rad och variera med text. Du bör skriva mycket text, nästan lika mycket som du skriver matematik. Det gör det enklare för läraren att förstå hur du tänker och för hen att bedöma dina kvalitéer. Lösningen är mycket viktigare än svaret.

Hänvisa till alla satser, Pythagoras eller faktorsatsen t.ex.

Svaret ska framgå tydligt. Det ska inte vara rörigt på något sätt. Det enklaste är att alltid avsluta med “Svar: x=$ $x=...$

1. Konjugat och kvadreringsregeln Teori

Konjugat- och kvadreringsregeln är mycket viktiga och grundläggande räkneregler. Förekommer ofta i uppgifter där du ska förenkla uttryck. Konjugat- och kvadreringsregeln kommer från matematik 2 så du bör ha lite koll iallafall. De flesta uppgifter som bara innehåller detta är inte så krävande. Du bör ha dessa förkunskaper redan så vi går inte igenom så många uppgifter.

Kort sammanfattning av konjugat och kvadreringsregeln

2. Potenslagarna Teori

Även dessa kommer från matematik 2, det är viktigt att du kan alla potenslagar om du vill ha högsta betyg. De flesta uppgifter kring potenser ger max 1 A-poäng, men om man kan sina lagar så blir dessa väldigt enkla!

Potenslagarna finns till för att berätta för oss hur vi handskas med upprepad multiplikation, vilket ju är vad en potens är.

Dessa potenslagar gör det lättare för dig att lösa alla problem med just potenser, viktigt att tänka på är att de bara gäller för reella tal.

Kort sammanfattning av potenslagarna

3. Rotekvationer Teori

En rotekvation är en matematisk operation där en okänd variabel kan befinna sig antingen under ett roten ur, eller vara lika med ett. Den aldra vanliga ekvationen är när en variabel är lika med roten ur en konstant, typ $x=\sqrt{4}$ som har lösningar $x=2$ och $x=-2$. Dessa lösningar kallas för rötter. Tänk på att alla lösningar ska testas i ursprungsekvationen!

4. Räkna på bråk och definitionsmängd Teori

Du behöver också ha koll på hur man räknar på bråk, jag rekommenderar att du lär dig gemensamma nämnare och korsvis multiplikation. En definitionsmängd är alla de värden på input x som kommer att ge en output y.

Du kan se det som alla x för vilken funktionen är definierad.

Till exempel, definitionsmängden för $f(x)=x^2$ är alla x, eftersom att alla x kan höjas upp två gånger. Men för funktionen $f(x)=\frac{1}{x}$ gäller att alla värden på x kommer ge ett y, förutom $x=0$. Stoppar vi in $x=0$ är funktionen odefinered. Alltså är 0 exkluderat ur vår definitionsmängd.

5. PQ-formeln Teori

Du behöver kunna hur du använder den, men också vad den faktiskt gör. Visst, den löser andragradsekvationer, men när är det användbart? PQ formeln kan användas för att t.ex ta fram start och slutpunkter på ett intervall till exempel vid beräkning av integraler. Tänk på att PQ formeln har två lösningar, en för vardera rot.

PQ-formeln ser ut så här

$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$

6. Faktorsatsen och nollproduktmetoden Teori

Faktorsatsen säger att du kan bygga samman ett polynom med hjälp av dess rötter, mycket användbar när du har lösningar till ett polynom givet men vill hitta en förenkling.

Nollproduktmetoden är ett snabbare, enklare och snyggare sätt att lösa andragradsekvationer som bara innehåller termer med variablen. Du kan läsa lite om nollproduktmetoden här (länk till PQ-formel teori).

7. Andragradsfunktioner Teori

Andragradsfunktioner är ett mycket stort område i matematik 3 och det är mycket viktigt att du kan allt om dessa.

En andragradsfunktion är ett polymom av grad 2, det vill säga att den högsta exponenten på en variabel är två.

Ett andragradspolynom har två lösningar, en för vardera rot och dessa tas fram med antingen PQ-formeln eller nollproduktmetoden. Andragradsekvationer används i många typer av problem både inom matematik och fysik, till exempel att beskriva en kastparabel eller ekonomisk vinst.

8. Räta linjer Teori

En rät linje är ett polynom av grad ett, det vill säga att högsta exponenten på en variabel är 1.

Den är alltid rak och innehåller inga kurvor. Dess lutning är konstant över hela intervallet.

En rät linje är alltid definierad av två punkter för vilka linjer passerar, hade det inte varit två punkter så hade vi ju haft en endaste prick!

Bortsett från den vanliga formen $y=kx+m$ kan man också representera en rät linje på andra sätt.

På punktform, $y-y_1 =k(x-x1)$ där k är lutningen och $(x_1, y_1)$ är en punkt på linjen.

Den mest ovanliga men avancerade varianten är $x/a + y/b =1$ där x och y är de punkter för vilken grafen skär respektive axlar.

9. Absolutbelopp Teori

Absolutbelopp är ett nytt moment i matematik 3 och förekommer inte jätteofta, men det är ändå bra att känna till. Ett absolutbelopp är det icke-negativa värdet av ett reellt tal, det är alltså oberoende av tecken. Till exempel så är absolutbeloppet av -5 lika med 5, medan absolutbeloppet av 5 också är lika med 5.

Ett absolutbelopp tecknas med två vertikala sträck på varsin sida om termen, absolutbeloppet av x skrivs som |x|.

Ett absolutbelopp har en del viktiga egenskaper

• Ett absolutbelopp är icke-negativa värden.
• De kan representeras på en talserie, med 0 i mitten och positiva tal till höger, negativa åt vänster.
• Absolutbelopp används för att mäta avstånd, eftersom avstånd aldrig kan vara negativa.
• Man kan använda absolutbelopp för att jämföra tal med varandra, eftersom att absolutbelopp alltid är lika med eller större än 0.
• Dee kan användas för att definiera imaginära tal.

10. Gränsvärden Teori

Ett gränsvärde beskriver hur en matematisk funktion beter sig i närheten av ett tal. Det tal som funktionen antar kallas för gränsvärde.

Gränsvärden förekommer inte heller jätteofta, men är också bra att känna till. Det finns nämligen lite olika knep att lösa dessa och det är väldigt enkelt när man lär sig! Dessa frågor är vanligare på uppgifter som resulterar i C eller A poäng.

Gränsvärden avgör om en funktion är kontinuerlig i en viss punkt. Om gränsvärdets värde är detsamma som funktionens värde i den punkten, så är funktionen kontinuerlig i den punkten. Ofta använder man gränsvärden när man skall bevisa derivatans definition eller integraler.

Gränsvärden kan vara oändliga.

För mer komplexa gränsvärden använder man produktregeln, kvadratregeln och kedjeregeln för att lösa.

11. Koordinatgeometri Teori

Koordinatgeometri är en gren av geometrin som behandlar geometriska figurer givna av koordinater, nummer som indikirerar var i ett koordinatsystem man befinner sig. Vanligast är det tvådimensionella kartesiska koordinatsystemet $(x,y)$ .

Varje punkt i planet definieras av ett unikt par med siffror $(x,y)$, och såklart - varje unikt par representerar en unik koordinat.

12. EKVATIONSSYSTEM Teori

Ekvationssystem förekommer ofta, både i redan uppställd form och som problemlösning. I grund och botten handlar det om att ställa upp de olika villkor du har givet i uppgiften på ett bra sätt.

13. Derivata och grafer Teori

Derivata är ett sätt att beskriva hur en funktion ändrar sig, man kan tänka sig att värdet på derivatan är förändringshastigheten för funktionen, eller lutningen i den punkten.

Derivatan för en funktion $f(x)$ skrivs som $f'(x)$.

Lite egenskaper hos en funktions derivata är,

• - Derivatan av en konstant funktion är noll. t.ex $f(x)=4$
• - Derivatan av en rät linje är lutningen k.
• - Derivatan av en funktion kan användas för att hitta största och minsta värdena i samma funktion.

14. Exponentialfunktioner Teori

En exponentialfunktion är en funktion på formen $y=a^x$, dvs att variabeln $x$ sittter i exponenten. Konstanten $a$ är bas i funktionen, och skall vara positiv. Ofta brukar konstanten a vara Eulers tal, e.

Något som är speciellt för exponentialfunktioner är att de aldrig är noll, utan alltid skiljda från noll. (Prova sätt in något tal istället för x!)

Lite egenskaper hos en exponentialfunktion är,

• - Definitionsmängden för exponentialfunktioner är alla reella tal.
• - Exponentialfunktioner är inte linjära funktioner, utan dess derivata ändras hela tiden.
• - Funktionen $a^x$ är sin egen derivata. Det vill säga $f'(x)=a^x$
• - Exponentialfunktioner med basen $a > 1$ ökar snabbare och snabbare ju mer x ökar. Funktioner för x mellan 0 och 1 ökar långsammare när x ökar!
• - Exponentialfunktioner används ofta när man ska beskriva ökning i population, bakterietillväxt eller radioaktivt avfall.

15. Problemlösning med derivata Teori

Här innebär det att du skall kunna formulera problem och lösa dessa med hjälp av derivata. Det är ett mycket viktigt moment och viktigt att du kan detta.

16. Integraler och primitiva funktioner Teori

Integraler är ofta ett stort moment och du måste kunna det för att få högt betyg. På E nivå brukar det bara vara frågor i stil med “lös integralen” medan de svårare uppgifterna brukar vara någon form av tolkning eller att det är integrationsgränserna som är klurigt.